実数全体を全体集合とし、集合 A, B, C が与えられています。 $A = \{x | -2 \le x < 6\}$ $B = \{x | -3 \le x < 5\}$ $C = \{x | k-5 \le x \le k+5\}$ (k は定数) (1) 次の集合を求めます。 (ア) $A \cap B$ (イ) $A \cup B$ (ウ) $\overline{B}$ (エ) $A \cup \overline{B}$ (2) $A \subset C$ となる k の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、集合 A, B, C が与えられています。

$A = \{x | -2 \le x < 6\}$

$B = \{x | -3 \le x < 5\}$

$C = \{x | k-5 \le x \le k+5\}$ (k は定数)

(1) 次の集合を求めます。

(ア) $A \cap B$

(イ) $A \cup B$

(ウ) $\overline{B}$

(エ) $A \cup \overline{B}$

(2) $A \subset C$ となる k の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $A \cap B$ は A と B の共通部分です。

$A = [-2, 6)$

$B = [-3, 5)$

したがって、$A \cap B = \{x | -2 \le x < 5\} = [-2, 5)$.

(イ) $A \cup B$ は A と B の和集合です。

$A = [-2, 6)$

$B = [-3, 5)$

したがって、$A \cup B = \{x | -3 \le x < 6\} = [-3, 6)$.

(ウ) $\overline{B}$ は B の補集合です。

$B = [-3, 5)$

全体集合は実数全体なので、$\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ or } x \ge 5\}$.

(エ) $A \cup \overline{B}$ は A と $\overline{B}$ の和集合です。

$A = [-2, 6)$

$\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ or } x \ge 5\}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -3 \text{ or } x \ge -2\}$.

(2) $A \subset C$ となる k の値の範囲を求めます。

$A = \{x | -2 \le x < 6\}$

$C = \{x | k-5 \le x \le k+5\}$

$A \subset C$ であるためには、次の条件を満たす必要があります。

$k-5 \le -2$ かつ $k+5 \ge 6$

$k \le 3$ かつ $k \ge 1$

したがって、$1 \le k \le 3$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $A \cap B = \{x | -2 \le x < 5\}$

(イ) $A \cup B = \{x | -3 \le x < 6\}$

(ウ) $\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge 5\}$

(エ) $A \cup \overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } x \ge -2\}$

(2) $1 \le k \le 3$