全体集合 $U$ は10以下の自然数全体の集合、$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$, $B = \{4, 6, 7, 9\}$ とする。以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$ (6) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ は10以下の自然数全体の集合、$A = \{1, 2, 4, 7, 8\}$, $B = \{4, 6, 7, 9\}$ とする。以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

(6) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、AとBの両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{4, 7\}$

したがって、$n(A \cap B) = 2$

(2) $A \cup B$ は、AまたはBに含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

したがって、$n(A \cup B) = 7$

(3) $\overline{B}$ は、Uに含まれるがBに含まれない要素の集合である。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 8, 10\}$

したがって、$n(\overline{B}) = 6$

(4) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ に含まれない要素の集合である。つまり、全体集合Uから$A \cup B$ の要素を除いた集合である。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{3, 5, 10\}$

したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 3$

(5) $A \cap \overline{B}$ は、Aに含まれるがBに含まれない要素の集合である。

$A \cap \overline{B} = A - B = \{1, 2, 8\}$

したがって、$n(A \cap \overline{B}) = 3$

(6) $\overline{A} \cap B$ は、Bに含まれるがAに含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 9, 10\}$

$\overline{A} \cap B = B - A = \{6, 9\}$

したがって、$n(\overline{A} \cap B) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 7

(3) 6

(4) 3

(5) 3

(6) 2