aは正の定数とします。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。 さらに、応用例題3の関数 $y=x^2-4x+1$ ($0 \le x \le a$)について、 (1) 定義域の両端 $x=0, x=a$ における $y$ の値が一致するときの、定数 $a$ の値を求めよ。 (2) 応用例題3の関数の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

aは正の定数とします。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

さらに、応用例題3の関数 $y=x^2-4x+1$ ($0 \le x \le a$)について、

(1) 定義域の両端 $x=0, x=a$ における $y$ の値が一致するときの、定数 $a$ の値を求めよ。

(2) 応用例題3の関数の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

**練習20:**

まず、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

このグラフは上に凸な放物線で、頂点は $(1, 2)$ です。

$0 \le x \le a$ の範囲での最大値を求めるには、以下の2つの場合を考慮します。

(i) $0 < a \le 1$ のとき：最大値は $x=0$ のときの値、つまり $y = -0^2 + 2(0) + 1 = 1$ です。または $x=a$ のときの値、つまり $y=-a^2+2a+1$ です。

この場合、軸($x=1$)は定義域の外または定義域の右端なので、最大値は$x=a$のときとなります。

$y=-a^2+2a+1$

(ii) $1 < a$ のとき：最大値は頂点の $y$ 座標、つまり $2$ です。

したがって、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$1 < a$ のとき、最大値は $2$

**問5(1):**

応用例題3の関数は $y = x^2 - 4x + 1$ です。$x=0$ のとき、$y = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$ です。

$x=a$ のとき、$y = a^2 - 4a + 1$ です。

$x=0$ と $x=a$ のときの $y$ の値が一致するとき、$1 = a^2 - 4a + 1$ が成り立ちます。

$a^2 - 4a = 0$

$a(a-4) = 0$

$a = 0$ または $a = 4$

$a$ は正の定数なので、$a = 4$ です。

**問5(2):**

$y = x^2 - 4x + 1$ の最大値を求めます。$y = (x-2)^2 - 3$ と変形できます。これは下に凸な放物線で、軸は $x=2$ です。定義域は $0 \le x \le a$ です。

場合分けをします。

(i) $0 < a < 2$ のとき：$x=0$ で最大値をとり、$y = 1$ です。

(ii) $a = 2$ のとき：$x=0$ で最大値をとり、$y = 1$ です。

(iii) $2 < a$ のとき：$x=a$ で最大値をとり、$y = a^2 - 4a + 1$ です。この値が$1$となるのは、$a=4$のとき。

$f(0)=1$

$f(a)=a^2-4a+1$

軸は$x=2$.

$f(0)=1$

$f(a)>f(0)$のとき、$a^2-4a+1>1$、$a^2-4a>0$、$a(a-4)>0$、$a>4$.

$f(a)<=f(0)$のとき、$2<a<=4$.

$a>4$のとき、$a^2-4a+1$

$0<a<=4$のとき、$1$。

3. 最終的な答え

**練習20:**

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$1 < a$ のとき、最大値は $2$

**問5(1):**

$a = 4$

**問5(2):**

$0 < a \le 4$のとき、最大値は $1$

$4 < a$のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$