3次方程式 $2x^3 + ax^2 + bx - 15 = 0$ の1つの解が $-1+2i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値と、残りの解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + ax^2 + bx - 15 = 0$ の1つの解が $-1+2i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値と、残りの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 係数が実数なので、$-1+2i$ が解ならば、共役複素数である $-1-2i$ も解です。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とします。解と係数の関係より、3つの解の和は $-\frac{a}{2}$ 、3つの解の積は $\frac{15}{2}$ です。

(3) 3つの解の積について、 $(-1+2i)(-1-2i)\alpha = \frac{15}{2}$ という関係式が得られます。これから$\alpha$を求めます。

(4) $\alpha$ を求めたら、解と係数の関係から$a, b$ を求めます。

解と係数の関係より、

3つの解の和: $(-1+2i) + (-1-2i) + \alpha = - \frac{a}{2}$

3つの解の積: $(-1+2i)(-1-2i)\alpha = \frac{15}{2}$

$(-1+2i)(-1-2i) = (-1)^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

よって、

$5\alpha = \frac{15}{2}$

$\alpha = \frac{15}{2} \div 5 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{2}$

3つの解は $-1+2i, -1-2i, \frac{3}{2}$ となります。

3つの解の和は $(-1+2i) + (-1-2i) + \frac{3}{2} = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{2}$ より、 $a = 1$

解と係数の関係より、

2つずつの積の和は $\frac{b}{2}$ なので、

$(-1+2i)(-1-2i) + (-1+2i)(\frac{3}{2}) + (-1-2i)(\frac{3}{2}) = \frac{b}{2}$

$5 + \frac{-3+6i}{2} + \frac{-3-6i}{2} = \frac{b}{2}$

$5 + \frac{-3+6i-3-6i}{2} = \frac{b}{2}$

$5 + \frac{-6}{2} = \frac{b}{2}$

$5 - 3 = \frac{b}{2}$

$2 = \frac{b}{2}$

$b = 4$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 4$

残りの解は $\frac{3}{2}$