$A, B$ を同じ型の正方行列とするとき、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための必要十分条件が、$A$ と $B$ が可換、つまり $AB = BA$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$A, B$ を同じ型の正方行列とするとき、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための必要十分条件が、$A$ と $B$ が可換、つまり $AB = BA$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ ならば $AB = BA$ であることを示す。

$(A+B)(A-B)$ を展開すると、

$(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

これが $A^2 - B^2$ に等しいので、

$A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$

両辺から $A^2$ と $-B^2$ を引くと、

$-AB + BA = 0$

したがって、

$BA = AB$

よって、$A$ と $B$ は可換である。

(2) $AB = BA$ ならば $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ であることを示す。

$AB = BA$ のとき、$(A+B)(A-B)$ を展開すると、

$(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

$AB = BA$ なので、$-AB + BA = 0$ である。

したがって、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

(1)と(2)より、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための必要十分条件は、$A$ と $B$ が可換である。

3. 最終的な答え

$A, B$ を同じ型の正方行列とするとき、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための必要十分条件は、$AB = BA$ (AとBが可換)である。