数列 $1, 2, 3, \dots, n$ において、次の2つの積の和を求めます。 (1) 異なる2つの項の積の和 ($n \ge 2$) (2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和 ($n \ge 3$)

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 3, \dots, n$ において、次の2つの積の和を求めます。

(1) 異なる2つの項の積の和 ($n \ge 2$)

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和 ($n \ge 3$)

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの項の積の和

まず、数列の総和 $S$ を求めます。

$S = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

次に、各項の2乗の和 $T$ を求めます。

$T = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

求める和を $A$ とすると、次のように表せます。

$A = \sum_{1 \le i < j \le n} ij$

$A$ は次のように変形できます。

$S^2 = (\sum_{k=1}^n k)^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} ij = T + 2A$

したがって、$2A = S^2 - T$ より、

$A = \frac{1}{2}(S^2 - T) = \frac{1}{2}\left( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{1}{2}\left( \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) = \frac{n(n+1)}{24}(3n(n+1) - 2(2n+1))$

$A = \frac{n(n+1)}{24}(3n^2+3n-4n-2) = \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{24} = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

$A = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和

(1)で求めた$A$から、隣り合う2つの項の積の和を引けば良い。隣り合う2つの項の積の和を$B$とする。

$B = \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$B = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1+3)}{6} = \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

求める和を $C$ とすると、 $C = A - B = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24} - \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

$C = \frac{(n-1)n(n+1)}{24}(3n+2 - 8) = \frac{(n-1)n(n+1)(3n-6)}{24} = \frac{3(n-2)(n-1)n(n+1)}{24}$

$C = \frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの項の積の和: $\frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和: $\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{8}$