数列 1, 2, 3, ..., n において、次の積の和を求めます。 (1) 異なる2つの項の積の和（$n \ge 2$） (2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和（$n \ge 3$）

1. 問題の内容

数列 1, 2, 3, ..., n において、次の積の和を求めます。

(1) 異なる2つの項の積の和（$n \ge 2$）

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和（$n \ge 3$）

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの項の積の和

数列の和を $S_1$、2乗の和を $S_2$ とすると、

$S_1 = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

求める和を $A$ とすると、

$A = \sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{1}{2} \left( (\sum_{k=1}^n k)^2 - \sum_{k=1}^n k^2 \right) = \frac{1}{2} (S_1^2 - S_2)$

$A = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12} \right)$

$A = \frac{n(n+1)(3n^2+3n-4n-2)}{24} = \frac{n(n+1)(3n^2-n-2)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24} = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和

全体の積の和から、隣り合う2つの項の積の和を引けばよい。

$A = \sum_{1 \le i < j \le n, j \ne i+1} ij$

隣り合う項の積の和を $B$ とすると、

$B = \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$B = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{3(n-1)n}{6}$

$B = \frac{(n-1)n(2n-1+3)}{6} = \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = \frac{2(n-1)n(n+1)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

求める和を $C$ とすると、 $C = A - B$

$C = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24} - \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2-8)}{24}$

$C = \frac{(n-1)n(n+1)(3n-6)}{24} = \frac{3(n-2)(n-1)n(n+1)}{24} = \frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの項の積の和: $\frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和: $\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{8}$