$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 10}$ を計算し、分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 10}$ を計算し、分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5} + 10$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 10} = \frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + 10)}{(\sqrt{5} - 10)(\sqrt{5} + 10)}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5} - 10)(\sqrt{5} + 10) = (\sqrt{5})^2 - (10)^2 = 5 - 100 = -95$

分子を展開します。

$\sqrt{5} (\sqrt{5} + 10) = (\sqrt{5})^2 + 10\sqrt{5} = 5 + 10\sqrt{5}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 10} = \frac{5 + 10\sqrt{5}}{-95} = \frac{5(1 + 2\sqrt{5})}{-95} = \frac{1 + 2\sqrt{5}}{-19} = -\frac{1 + 2\sqrt{5}}{19}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1 + 2\sqrt{5}}{19}$