次の式を計算しなさい。 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-10}}$

1. 問題の内容

次の式を計算しなさい。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-10}}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-10}$ を $\sqrt{10}i$ と書き換えます。ここで、$i$ は虚数単位であり、$i^2 = -1$ です。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}i}$

次に、分母の有理化を行います。分母と分子に $-i$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}i} = \frac{\sqrt{5} \times (-i)}{\sqrt{10}i \times (-i)} = \frac{-\sqrt{5}i}{\sqrt{10}(-i^2)} = \frac{-\sqrt{5}i}{\sqrt{10}}$

$\sqrt{10}$ を $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$ と分解します。

$\frac{-\sqrt{5}i}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{-i}{\sqrt{2}}$

最後に、分母の有理化を再度行います。分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{-i}{\sqrt{2}} = \frac{-i\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}i}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}i$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{2}}{2}i$