与えられた連立一次方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解く。4つの問題が与えられている。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解く。4つの問題が与えられている。

2. 解き方の手順

各連立一次方程式を行列で表現し、基本変形（行の入れ替え、行の定数倍、ある行の定数倍を他の行に加える）を繰り返し適用して、階段行列に変形する。その後、後退代入を行い、解を求める。

(1)

与えられた連立一次方程式は

$x + 2y + z = 2$

$2x + 3y + 2z = 4$

$6x + 5y + 6z = 12$

である。

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

2 & 3 & 2 & 4 \\

6 & 5 & 6 & 12

\end{pmatrix}$

である。

2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

6 & 5 & 6 & 12

\end{pmatrix}$

3行目から1行目の6倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & -7 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

3行目から2行目の-7倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

したがって、$x + z = 2$ および $y = 0$ である。$z = t$とおくと、$x = 2 - t$となる。

よって、$x = 2 - t, y = 0, z = t$ （$t$は任意の実数）

(2)

与えられた連立一次方程式は

$2x - y - z = 1$

$-x + 2y - z = -1$

$-x - y + 2z = 1$

である。

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & -1 & -1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix}

-1 & 2 & -1 & -1 \\

2 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}$

1行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

2 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

0 & 3 & -3 & -1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}$

3行目に1行目を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

0 & 3 & -3 & -1 \\

0 & -3 & 3 & 2

\end{pmatrix}$

3行目に2行目を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

0 & 3 & -3 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

最後の行より、$0 = 1$となるため、解なし。

(3)

与えられた連立一次方程式は

$2x - y - z = 0$

$-x + 2y - z = 0$

$-x - y + 2z = 0$

である。

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & -1 & 0 \\

-1 & 2 & -1 & 0 \\

-1 & -1 & 2 & 0

\end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix}

-1 & 2 & -1 & 0 \\

2 & -1 & -1 & 0 \\

-1 & -1 & 2 & 0

\end{pmatrix}$

1行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 \\

2 & -1 & -1 & 0 \\

-1 & -1 & 2 & 0

\end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

-1 & -1 & 2 & 0

\end{pmatrix}$

3行目に1行目を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

0 & -3 & 3 & 0

\end{pmatrix}$

3行目に2行目を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 \\

0 & 3 & -3 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を3で割る:

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

1行目に2行目の2倍を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

したがって、$x - z = 0$ および $y - z = 0$ である。$z = t$とおくと、$x = t$および$y = t$となる。

よって、$x = t, y = t, z = t$ ($t$は任意の実数)

(4)

与えられた連立一次方程式は

$2x - y + 9z = 0$

$-x + y - 3z = 0$

$x - 3y - 3z = 0$

である。

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 9 & 0 \\

-1 & 1 & -3 & 0 \\

1 & -3 & -3 & 0

\end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix}

1 & -3 & -3 & 0 \\

-1 & 1 & -3 & 0 \\

2 & -1 & 9 & 0

\end{pmatrix}$

2行目に1行目を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & -3 & -3 & 0 \\

0 & -2 & -6 & 0 \\

2 & -1 & 9 & 0

\end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & -3 & -3 & 0 \\

0 & -2 & -6 & 0 \\

0 & 5 & 15 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を-2で割る:

$\begin{pmatrix}

1 & -3 & -3 & 0 \\

0 & 1 & 3 & 0 \\

0 & 5 & 15 & 0

\end{pmatrix}$

3行目から2行目の5倍を引く:

$\begin{pmatrix}

1 & -3 & -3 & 0 \\

0 & 1 & 3 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

1行目に2行目の3倍を足す:

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 6 & 0 \\

0 & 1 & 3 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

したがって、$x + 6z = 0$ および $y + 3z = 0$ である。$z = t$とおくと、$x = -6t$および$y = -3t$となる。

よって、$x = -6t, y = -3t, z = t$ ($t$は任意の実数)

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 - t, y = 0, z = t$ （$t$は任意の実数）

(2) 解なし

(3) $x = t, y = t, z = t$ ($t$は任意の実数)

(4) $x = -6t, y = -3t, z = t$ ($t$は任意の実数)