連立方程式 $\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$ が与えられています。ただし、$a, b$ は定数です。この連立方程式が一意な解を持たないとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の値を求めます。 (2) この連立方程式を解きます。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

2x + y = b \\

x + ay = 2

\end{cases}$

が与えられています。ただし、$a, b$ は定数です。この連立方程式が一意な解を持たないとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の値を求めます。

(2) この連立方程式を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 連立方程式が一意な解を持たない条件は、係数行列の行列式が0になることです。

$\begin{vmatrix}

2 & 1 \\

1 & a

\end{vmatrix} = 0$

$2a - 1 = 0$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

(2) $a = \frac{1}{2}$ を代入して、連立方程式は

$\begin{cases}

2x + y = b \\

x + \frac{1}{2}y = 2

\end{cases}$

となります。2番目の式を2倍すると

$\begin{cases}

2x + y = b \\

2x + y = 4

\end{cases}$

となります。

この連立方程式が解を持つためには、$b = 4$ である必要があります。

もし$b = 4$ ならば、2つの式は同じ式になるので、

$2x + y = 4$

$y = 4 - 2x$

となります。

$x = t$ とおくと、$y = 4 - 2t$ となります。よって、解は

$\begin{cases}

x = t \\

y = 4 - 2t

\end{cases}$

となります。ここで、$t$ は任意の実数です。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $b \neq 4$ のとき、解なし。

$b = 4$ のとき、$\begin{cases} x = t \\ y = 4 - 2t \end{cases}$ (tは任意の実数)