連立方程式 $\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$ が、一意には解をもたないときの、$a$ の値を求め、その後、与えられた条件($a = -2$の場合)で連立方程式を解く問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$

が、一意には解をもたないときの、$a$ の値を求め、その後、与えられた条件($a = -2$の場合)で連立方程式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 連立方程式が一意な解をもたない条件を求める。

連立方程式

$\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$

が解を持たない、または不定解を持つとき、一意な解を持たない。

1番目の式を2倍すると

$4x + 2y = 2b$

2番目の式から1番目の式を2倍した式を引くと

$(1 - 2) x + (a - 2) y = 2 - 2b$

$-3x + (a-2)y = 2 - 2b$

連立方程式が一意解を持たない条件は、2つの式が平行になる(係数比が等しい)ことです。

$\frac{2}{1} = \frac{1}{a} \neq \frac{b}{2}$

これから、$a = \frac{1}{2}$が得られます。

一意解をもたない条件は、

$\frac{2}{1} = \frac{1}{a}$

より、$a = \frac{1}{2}$

(2) $a = -2$のとき、連立方程式を解く。

$\begin{cases} 2x + y = b \\ x - 2y = 2 \end{cases}$

2番目の式を2倍すると

$2x - 4y = 4$

1番目の式から2番目の式を2倍した式を引くと

$2x + y - (2x - 4y) = b - 4$

$5y = b - 4$

$y = \frac{b - 4}{5}$

これを2番目の式に代入すると

$x - 2 \frac{b - 4}{5} = 2$

$x = 2 + \frac{2(b - 4)}{5} = \frac{10 + 2b - 8}{5} = \frac{2b + 2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $x = \frac{2b + 2}{5}$, $y = \frac{b - 4}{5}$