連立方程式 $\begin{cases} 2x + y = b \\ x + ay = 2 \end{cases}$ が一意に解を持たないとき、以下の問題を解く。 (1) $a$の値を求めよ。 (2) この連立方程式を解け。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

2x + y = b \\

x + ay = 2

\end{cases}$

が一意に解を持たないとき、以下の問題を解く。

(1) $a$の値を求めよ。

(2) この連立方程式を解け。

2. 解き方の手順

(1) 連立方程式が一意に解を持たない条件は、係数行列の行列式が0になることである。

係数行列は

$\begin{pmatrix}

2 & 1 \\

1 & a

\end{pmatrix}$

である。

したがって、

$2a - 1 = 0$

これを解くと、

$a = \frac{1}{2}$

(2) $a = \frac{1}{2}$ を連立方程式に代入すると、

$\begin{cases}

2x + y = b \\

x + \frac{1}{2}y = 2

\end{cases}$

2番目の式を2倍すると、

$\begin{cases}

2x + y = b \\

2x + y = 4

\end{cases}$

この連立方程式が解を持つためには、$b = 4$でなければならない。

$b = 4$ のとき、2つの式は同じ式を表すので、

$2x + y = 4$

$y = 4 - 2x$

よって、解は

$\begin{cases}

x = t \\

y = 4 - 2t

\end{cases}$

（$t$は任意の実数）

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $b = 4$のとき、

$\begin{cases}

x = t \\

y = 4 - 2t

\end{cases}$

（$t$は任意の実数）

$b \neq 4$のとき、解なし。