数列 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... が与えられています。 (1) 自然数 $n$ を用いて、$n^2$ が初めて現れるのは第何項か求めます。 (2) 第100項を求めます。 (3) 初項から第100項までの和を求めます。

1. 問題の内容

数列 1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... が与えられています。

(1) 自然数 $n$ を用いて、$n^2$ が初めて現れるのは第何項か求めます。

(2) 第100項を求めます。

(3) 初項から第100項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性から、自然数の2乗が現れる順番を考えます。

1の2乗（1）は第1項

2の2乗（4）は第3項

3の2乗（9）は第6項

4の2乗（16）は第10項

5の2乗（25）は第15項

この数列は、1から始まる自然数を順に並べ、それぞれの数に対して1,4,9,...と二乗の数を繰り返す数列です。

$k$番目の自然数の2乗 $k^2$ が初めて現れるのは、数列の第何項か？

各グループの項数は 1, 2, 3, 4, 5, ... と増えていくので、$k^2$ が初めて現れる項は、初項から$k$番目のグループの最後の項となります。

したがって、$k^2$ が初めて現れるのは、

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$ 項となります。

(2) 数列は、1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, ... となっています。

各グループの項数は1, 2, 3, 4, 5, ... と増えていきます。

第100項がどのグループに属するかを考えます。

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$\frac{n(n+1)}{2} \le 100$ を満たす最大の $n$ を探します。

$n(n+1) \le 200$

$n=13$ のとき $13 \times 14 = 182 \le 200$

$n=14$ のとき $14 \times 15 = 210 > 200$

よって、第100項は13番目のグループに属します。

13番目のグループの最後の項は $\frac{13 \times 14}{2} = 91$ 項です。

第100項は、13番目のグループの $100 - 91 = 9$ 番目の項になります。

13番目のグループは 1, 4, 9, ..., $13^2$ なので、1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... となります。

したがって、第100項は $9^2 = 81$ ではありません。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...の先頭から数えて9番目なので1,4,9,16,25,36,49,64,81なので、$a_{100}=81$です。

(3) 初項から第100項までの和を求めます。

各グループの項数は1, 2, 3, ..., 13, ... となります。

13番目のグループまでの項数は $\frac{13 \times 14}{2} = 91$

14番目のグループの9項を含めて、合計100項になります。

1番目のグループ: 1

2番目のグループ: 1 + 4 = 5

3番目のグループ: 1 + 4 + 9 = 14

...

n番目のグループ: $1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

初項から第91項までの和は、$\sum_{k=1}^{13} (\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}) = \sum_{k=1}^{13} \sum_{i=1}^{k} i^2$

14番目のグループの最初の9項は 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

その和は 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285

$\sum_{k=1}^{13} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}= \frac{13 \times 14 \times 27}{6}=13 \times 7 \times 9 = 819$

初項から第100項までの和は $819 + 285 = 1104$

3. 最終的な答え

(1) 第$\frac{n(n+1)}{2}$項

(2) 81

(3) 1104