## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

7. A, B を同じサイズの正方行列とする。A, B がともに上三角行列であるとき、その積 AB も上三角行列であることを示す。

8. 行列 A, B に対して積 AB が定義されるとき、${}^t(AB) = {}^tB{}^tA$ が成り立つことを示す。

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2. 解き方の手順

### 問題7

行列 $A, B$ が $n \times n$ の上三角行列であるとする。すなわち、$i > j$ ならば $a_{ij} = 0$ かつ $b_{ij} = 0$ が成り立つ。

積 $AB = C$ とし、$C$ の成分を $c_{ij}$ とする。

$c_{ij}$ は次のように表される。

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

$i > j$ のとき、$c_{ij}=0$ であることを示す。

$i > j$ のとき、$k$ に関する和を $k \le i$ と $k > i$ の場合に分けて考える。

$k \le i$ の場合、$i > j$ より、$k \le i > j$ であるから、$k > j$ のとき、$b_{kj} = 0$。

$k > i$ の場合、$a_{ik} = 0$ となる。

よって、$i > j$ のとき、任意の $k$ に対して $a_{ik}b_{kj} = 0$ が成り立つので、

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = 0$

したがって、$i > j$ ならば $c_{ij} = 0$ となるので、$AB$ は上三角行列である。

### 問題8

行列 $A$ を $m \times n$ 行列、行列 $B$ を $n \times p$ 行列とする。このとき、積 $AB$ は $m \times p$ 行列である。

$(AB)$ の $(i, j)$ 成分を $(AB)_{ij}$ で表すと、

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

転置行列 ${}^t(AB)$ の $(i, j)$ 成分は $(AB)$ の $(j, i)$ 成分に等しいから、

$({}^t(AB))_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}$

一方、${}^tA$ は $n \times m$ 行列、${}^tB$ は $p \times n$ 行列であるから、${}^tB{}^tA$ は $p \times m$ 行列である。

${}^tB{}^tA$ の $(i, j)$ 成分は、

$({}^tB{}^tA)_{ij} = \sum_{k=1}^n ({}^tB)_{ik}({}^tA)_{kj} = \sum_{k=1}^n b_{ki}a_{jk} = \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}$

したがって、$({}^t(AB))_{ij} = ({}^tB{}^tA)_{ij}$ が成り立つので、

${}^t(AB) = {}^tB{}^tA$

が成り立つ。

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3. 最終的な答え

### 問題7

A, B が上三角行列ならば、その積 AB も上三角行列である。

### 問題8

${}^t(AB) = {}^tB{}^tA$