与えられた3元連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解き、$x_1, x_2, x_3$ の解が存在するように定数 $c$ の値を決定する問題です。連立方程式は以下の通りです。 $x_1 + x_2 - x_3 = 0$ $x_1 + 2x_2 = c$ $x_2 + x_3 = 8$

1. 問題の内容

与えられた3元連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解き、$x_1, x_2, x_3$ の解が存在するように定数 $c$ の値を決定する問題です。連立方程式は以下の通りです。

$x_1 + x_2 - x_3 = 0$

$x_1 + 2x_2 = c$

$x_2 + x_3 = 8$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を行列で表します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ c \\ 8 \end{pmatrix}$

次に、係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + (-1)(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = 2 - 1 - 1 = 0$

$D = 0$ であるため、クラメルの公式を単純に適用することはできません。しかし、解が存在するためには、右辺のベクトルが係数行列の列ベクトルの線形結合で表せなければなりません。

行列式 $D=0$ なので解が一意に決まらない可能性がある。解が存在するためには、拡大行列のランクが係数行列のランクと等しくなければならない。

ここで、以下の3つの行列式 $D_1, D_2, D_3$ を計算します。

$D_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ c & 2 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0(2 - 0) - 1(c - 0) + (-1)(c - 16) = -c - c + 16 = -2c + 16$

$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & c & 0 \\ 0 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 1(c - 0) - 0 + (-1)(8 - 0) = c - 8$

$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & c \\ 0 & 1 & 8 \end{vmatrix} = 1(16 - c) - 1(8 - 0) + 0 = 16 - c - 8 = 8 - c$

クラメルの公式が適用できる条件は、$D \neq 0$ ですが、ここでは $D = 0$ なので、解が存在するためには $D_1 = D_2 = D_3 = 0$ である必要があります。

$D_1 = -2c + 16 = 0 \implies c = 8$

$D_2 = c - 8 = 0 \implies c = 8$

$D_3 = 8 - c = 0 \implies c = 8$

したがって、$c = 8$ のとき、解が存在する可能性があります。

$c=8$ を代入して、連立一次方程式を解いてみます。

$x_1 + x_2 - x_3 = 0$

$x_1 + 2x_2 = 8$

$x_2 + x_3 = 8$

第2式から $x_1 = 8 - 2x_2$。第3式から $x_3 = 8 - x_2$。

これらを第1式に代入すると、

$(8 - 2x_2) + x_2 - (8 - x_2) = 0$

$8 - 2x_2 + x_2 - 8 + x_2 = 0$

$0 = 0$

したがって、$x_2$ は任意の値をとることができます。$x_2 = t$ とおくと、

$x_1 = 8 - 2t$

$x_3 = 8 - t$

3. 最終的な答え

$c=8$