与えられた4元連立1次方程式 $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$ $a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$ $a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$ が解 $x_1 = \alpha, x_2 = \beta, x_3 = 1, x_4 = \gamma$ (ここで $\alpha, \beta, \gamma$ は実数)を持つとき、行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた4元連立1次方程式

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0$

$a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0$

$a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0$

が解 $x_1 = \alpha, x_2 = \beta, x_3 = 1, x_4 = \gamma$ (ここで $\alpha, \beta, \gamma$ は実数)を持つとき、行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

連立一次方程式が解を持つということは、$x_1 = \alpha, x_2 = \beta, x_3 = 1, x_4 = \gamma$を各方程式に代入すると方程式が成り立つということです。すなわち、

$a_{11}\alpha + a_{12}\beta + a_{13}(1) + a_{14}\gamma = 0$

$a_{21}\alpha + a_{22}\beta + a_{23}(1) + a_{24}\gamma = 0$

$a_{31}\alpha + a_{32}\beta + a_{33}(1) + a_{34}\gamma = 0$

$a_{41}\alpha + a_{42}\beta + a_{43}(1) + a_{44}\gamma = 0$

これらの式は、次のように書き換えることができます。

$a_{11}\alpha + a_{12}\beta + a_{14}\gamma = -a_{13}$

$a_{21}\alpha + a_{22}\beta + a_{24}\gamma = -a_{23}$

$a_{31}\alpha + a_{32}\beta + a_{34}\gamma = -a_{33}$

$a_{41}\alpha + a_{42}\beta + a_{44}\gamma = -a_{43}$

この連立一次方程式が解を持つためには、係数行列の行列式が0でなければなりません。したがって、

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} = 0$

である必要があります。

与えられた連立一次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0であることです。つまり、

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} = 0$

3. 最終的な答え

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