与えられた式を簡略化する問題です。式は $\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot [2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1)]$ です。この式が $2^{n-2} \cdot (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ に等しいことを示す、あるいは、この形に変形するという問題だと解釈できます。

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は

$\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \cdot [2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1)]$

です。この式が $2^{n-2} \cdot (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ に等しいことを示す、あるいは、この形に変形するという問題だと解釈できます。

2. 解き方の手順

与えられた式を簡略化していきます。

まず、$\frac{1}{2}$ を $2^{-1}$ と書き換えます。

$2^{-1} \cdot 2^{n-1} \cdot [2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1)]$

指数の法則 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ を用いて、最初の2つの項を簡略化します。

$2^{-1+(n-1)} \cdot [2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1)]$

$= 2^{n-2} \cdot [2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1]$

次に、括弧の中を簡略化します。

$2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$

したがって、式は次のようになります。

$2^{n-2} \cdot [3 \cdot 2^{n-1} - 1]$

これは、与えられた形式 $2^{n-2} \cdot (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$ と一致します。

3. 最終的な答え

$2^{n-2} \cdot (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$