4元連立1次方程式 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0 \\ a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0 \end{cases}$ が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ (ここで$\alpha$, $\beta$, $\gamma$は実定数) をもつとき、行列式 $ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} $ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

4元連立1次方程式

$\begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\

a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0 \\

a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0

\end{cases}$

が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ (ここで$\alpha$, $\beta$, $\gamma$は実定数) をもつとき、行列式

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

$$

の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

連立1次方程式が自明でない解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0であることです。

与えられた連立1次方程式が解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ を持つことから、

$x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ は自明でない解なので、連立1次方程式の係数行列の行列式は0となります。

したがって、

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix} = 0

$$

3. 最終的な答え

0