4元連立1次方程式が与えられています。 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0 \\ a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0 \end{cases}$ この連立方程式が $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ を解に持つとき、行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

4元連立1次方程式が与えられています。

$\begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\

a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0 \\

a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0

\end{cases}$

この連立方程式が $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ を解に持つとき、行列式

$\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた解 $x_1 = \alpha$, $x_2 = \beta$, $x_3 = 1$, $x_4 = \gamma$ を連立方程式に代入すると、次のようになります。

$\begin{cases}

a_{11}\alpha + a_{12}\beta + a_{13}(1) + a_{14}\gamma = 0 \\

a_{21}\alpha + a_{22}\beta + a_{23}(1) + a_{24}\gamma = 0 \\

a_{31}\alpha + a_{32}\beta + a_{33}(1) + a_{34}\gamma = 0 \\

a_{41}\alpha + a_{42}\beta + a_{43}(1) + a_{44}\gamma = 0

\end{cases}$

これは、行列とベクトルの積で表すと、次のようになります。

$\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

\alpha \\

\beta \\

1 \\

\gamma

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

0 \\

0

\end{pmatrix}$

この連立一次方程式が自明でない解を持つためには、係数行列の行列式が0でなければなりません。

なぜなら、もし行列式が0でないならば、逆行列が存在し、解は $(0, 0, 0, 0)$ のみとなるからです。しかし、問題文より、解は $(\alpha, \beta, 1, \gamma)$ であり、特に $x_3=1$ であるため、自明な解ではありません。

したがって、与えられた行列の行列式は0です。

3. 最終的な答え

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