4元連立1次方程式が与えられています。 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0 \\ a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0 \end{cases}$ この連立1次方程式が、 $\begin{cases} x_1 = \alpha \\ x_2 = \beta \\ x_3 = 1 \\ x_4 = \gamma \end{cases}$ という解を持つとき、行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

4元連立1次方程式が与えられています。

$\begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 = 0 \\

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 = 0 \\

a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 = 0 \\

a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 = 0

\end{cases}$

この連立1次方程式が、

$\begin{cases}

x_1 = \alpha \\

x_2 = \beta \\

x_3 = 1 \\

x_4 = \gamma

\end{cases}$

という解を持つとき、行列式

$\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた連立1次方程式に、$x_1 = \alpha, x_2 = \beta, x_3 = 1, x_4 = \gamma$を代入すると、

$\begin{cases}

a_{11}\alpha + a_{12}\beta + a_{13} + a_{14}\gamma = 0 \\

a_{21}\alpha + a_{22}\beta + a_{23} + a_{24}\gamma = 0 \\

a_{31}\alpha + a_{32}\beta + a_{33} + a_{34}\gamma = 0 \\

a_{41}\alpha + a_{42}\beta + a_{43} + a_{44}\gamma = 0

\end{cases}$

となります。

これを書き換えると、

$\begin{cases}

a_{11}\alpha + a_{12}\beta + a_{14}\gamma = -a_{13} \\

a_{21}\alpha + a_{22}\beta + a_{24}\gamma = -a_{23} \\

a_{31}\alpha + a_{32}\beta + a_{34}\gamma = -a_{33} \\

a_{41}\alpha + a_{42}\beta + a_{44}\gamma = -a_{43}

\end{cases}$

この連立方程式を行列で表すと、

$\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{44}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

\alpha \\ \beta \\ \gamma

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-a_{13} \\ -a_{23} \\ -a_{33} \\ -a_{43}

\end{pmatrix}$

となります。

元の連立方程式が自明でない解を持つためには、行列式が0でなければなりません。つまり、

$\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix} = 0$

3. 最終的な答え

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