次の2次関数の最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。 (9) $y = x^2 - 4x + 7$ (10) $y = -x^2 - 6x - 2$ (11) $y = -2x^2 + 6x - 7$ (12) $y = 3x^2 - x + 5$

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

(9) $y = x^2 - 4x + 7$

(10) $y = -x^2 - 6x - 2$

(11) $y = -2x^2 + 6x - 7$

(12) $y = 3x^2 - x + 5$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形すると、

$a > 0$ ならば、$x=p$ のとき最小値 $q$ をとります。

$a < 0$ ならば、$x=p$ のとき最大値 $q$ をとります。

(9) $y = x^2 - 4x + 7$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$

$y = (x - 2)^2 + 3$

$x = 2$ のとき、最小値 $3$ をとります。

(10) $y = -x^2 - 6x - 2$

$y = -(x^2 + 6x) - 2$

$y = -(x^2 + 6x + 9) + 9 - 2$

$y = -(x + 3)^2 + 7$

$x = -3$ のとき、最大値 $7$ をとります。

(11) $y = -2x^2 + 6x - 7$

$y = -2(x^2 - 3x) - 7$

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + 2 \cdot \frac{9}{4} - 7$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - \frac{14}{2}$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、最大値 $-\frac{5}{2}$ をとります。

(12) $y = 3x^2 - x + 5$

$y = 3(x^2 - \frac{1}{3}x) + 5$

$y = 3(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{36}) - 3 \cdot \frac{1}{36} + 5$

$y = 3(x - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} + \frac{60}{12}$

$y = 3(x - \frac{1}{6})^2 + \frac{59}{12}$

$x = \frac{1}{6}$ のとき、最小値 $\frac{59}{12}$ をとります。

3. 最終的な答え

(9) $x=2$ のとき、最小値 $3$

(10) $x=-3$ のとき、最大値 $7$

(11) $x=\frac{3}{2}$ のとき、最大値 $-\frac{5}{2}$

(12) $x=\frac{1}{6}$ のとき、最小値 $\frac{59}{12}$