3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、この3次方程式の整数解を探します。定数項である-6の約数（$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$）を$x$に代入して方程式が成り立つかどうかを確かめます。

$x = 1$を代入すると、

$1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$

となるので、$x = 1$はこの方程式の解の一つです。

したがって、$x - 1$はこの3次式の因数となります。

3次式を$x - 1$で割って因数分解します。

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6)$

次に、2次式 $x^2 + 5x + 6$ を因数分解します。

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

したがって、与えられた3次方程式は次のように因数分解できます。

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3) = 0$

よって、解は $x = 1, -2, -3$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, -2, -3$