与えられた3元連立1次方程式をクラメルの方法で解き、$x_1, x_2, x_3$を求め、解が存在するように定数 $c$ の値を決定する問題です。連立方程式は次の通りです。 $\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 = c \\ x_2 + x_3 = 8 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた3元連立1次方程式をクラメルの方法で解き、$x_1, x_2, x_3$を求め、解が存在するように定数 $c$ の値を決定する問題です。連立方程式は次の通りです。

$\begin{cases}

x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\

x_1 + 2x_2 = c \\

x_2 + x_3 = 8

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$D = \begin{vmatrix}

1 & 1 & -1 \\

1 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 1(2\cdot1 - 0\cdot1) - 1(1\cdot1 - 0\cdot0) + (-1)(1\cdot1 - 2\cdot0) = 2 - 1 - 1 = 0$

クラメルの公式を使うためには、係数行列の行列式が 0 でないことが条件ですが、$D = 0$ となってしまいました。そのため、クラメルの公式はそのままでは使えません。

しかし、解が存在するためには、拡大係数行列の階数と係数行列の階数が一致する必要があります。

連立方程式を書き換えると、

$\begin{cases}

x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\

x_1 + 2x_2 + 0x_3 = c \\

0x_1 + x_2 + x_3 = 8

\end{cases}$

1番目の式から2番目の式を引くと、

$(x_1 + x_2 - x_3) - (x_1 + 2x_2 + 0x_3) = 0 - c$

$-x_2 - x_3 = -c$

$x_2 + x_3 = c$

3番目の式は、$x_2 + x_3 = 8$ です。

解が存在するためには、これらの式が矛盾してはいけません。したがって、

$c = 8$ でなければなりません。

次に、$c=8$の場合を考えます。

$\begin{cases}

x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\

x_1 + 2x_2 = 8 \\

x_2 + x_3 = 8

\end{cases}$

$x_2 + x_3 = 8$ より、$x_3 = 8 - x_2$

$x_1 + 2x_2 = 8$ より、$x_1 = 8 - 2x_2$

これらを$x_1 + x_2 - x_3 = 0$に代入すると、

$(8 - 2x_2) + x_2 - (8 - x_2) = 0$

$8 - 2x_2 + x_2 - 8 + x_2 = 0$

$0 = 0$

これは、$x_2$が任意の値をとれることを意味します。したがって、解は無数に存在します。

$x_2 = t$ とすると、$x_1 = 8 - 2t$、$x_3 = 8 - t$

したがって、解は $(x_1, x_2, x_3) = (8 - 2t, t, 8 - t)$ と表せます。

3. 最終的な答え

解が存在するような $c$ の値は $c = 8$ です。

解は $(x_1, x_2, x_3) = (8 - 2t, t, 8 - t)$ （$t$ は任意の実数）と表せます。