与えられた2つの連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解きます。 (1) $ \begin{cases} 2x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 - x_2 = -5 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 5x_1 + 4x_2 = 0 \\ -3x_1 - 2x_2 = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた2つの連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解きます。

(1)

$\begin{cases} 2x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 - x_2 = -5 \end{cases}$

(2)

$\begin{cases} 5x_1 + 4x_2 = 0 \\ -3x_1 - 2x_2 = 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列と、係数行列の一つの列を定数ベクトルで置き換えた行列の行列式の比で表すものです。

(1) の場合：

まず、係数行列とその行列式を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$det(A) = (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3$

次に、$x_1$ を求めるために、$A$ の第一列を定数ベクトルで置き換えた行列とその行列式を計算します。

$A_1 = \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$

$det(A_1) = (-4)(-1) - (1)(-5) = 4 + 5 = 9$

$x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)} = \frac{9}{-3} = -3$

次に、$x_2$ を求めるために、$A$ の第二列を定数ベクトルで置き換えた行列とその行列式を計算します。

$A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$

$det(A_2) = (2)(-5) - (-4)(1) = -10 + 4 = -6$

$x_2 = \frac{det(A_2)}{det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$

(2) の場合：

まず、係数行列とその行列式を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$

$det(A) = (5)(-2) - (4)(-3) = -10 + 12 = 2$

次に、$x_1$ を求めるために、$A$ の第一列を定数ベクトルで置き換えた行列とその行列式を計算します。

$A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

$det(A_1) = (0)(-2) - (4)(0) = 0 - 0 = 0$

$x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)} = \frac{0}{2} = 0$

次に、$x_2$ を求めるために、$A$ の第二列を定数ベクトルで置き換えた行列とその行列式を計算します。

$A_2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$

$det(A_2) = (5)(0) - (0)(-3) = 0 - 0 = 0$

$x_2 = \frac{det(A_2)}{det(A)} = \frac{0}{2} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$x_1 = -3$

$x_2 = 2$

(2)

$x_1 = 0$

$x_2 = 0$