定積分 $\int_{-3}^{-1} (-3x^2 + 4x + 3) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{-1} (-3x^2 + 4x + 3) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-3x^2 + 4x + 3$ の不定積分を計算します。

$$\int (-3x^2 + 4x + 3) dx = -3\int x^2 dx + 4\int x dx + 3\int dx$$

$$= -3\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 3x + C = -x^3 + 2x^2 + 3x + C$$

次に、定積分の定義に従って、積分の上端と下端の値を代入して計算します。

$$\int_{-3}^{-1} (-3x^2 + 4x + 3) dx = [-x^3 + 2x^2 + 3x]_{-3}^{-1}$$

$$= (-(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1)) - (-(-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3))$$

$$= (1 + 2 - 3) - (27 + 18 - 9)$$

$$= 0 - (36) = -36$$

3. 最終的な答え

-36