問題は2つあります。 一つ目は、$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$を計算することです。 二つ目は、$\sum_{i=3}^{7} (2i+1)$を計算することです。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

一つ目は、$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$を計算することです。

二つ目は、$\sum_{i=3}^{7} (2i+1)$を計算することです。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)}$

まず、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$とおくと、

$1 = A(n+2) + Bn$

$n=0$のとき、$1 = 2A$より$A = \frac{1}{2}$

$n=-2$のとき、$1 = -2B$より$B = -\frac{1}{2}$

よって、$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

したがって、

$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{4} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6})]$

$= \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}] = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - \frac{11}{30}] = \frac{1}{2} [\frac{45-11}{30}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{30} = \frac{17}{30}$

二つ目の問題：$\sum_{i=3}^{7} (2i+1)$

$\sum_{i=3}^{7} (2i+1) = (2\cdot3+1) + (2\cdot4+1) + (2\cdot5+1) + (2\cdot6+1) + (2\cdot7+1)$

$= 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55$

または、

$\sum_{i=3}^{7} (2i+1) = 2\sum_{i=3}^{7} i + \sum_{i=3}^{7} 1 = 2(\sum_{i=1}^{7} i - \sum_{i=1}^{2} i) + 5$

$= 2(\frac{7\cdot8}{2} - \frac{2\cdot3}{2}) + 5 = 2(28-3) + 5 = 2\cdot25 + 5 = 50 + 5 = 55$

3. 最終的な答え

一つ目の問題：17/30

二つ目の問題：55