関数 $y = \sqrt{x \sin^{-1} 5x}$ の微分を求める。

## (f)の問題

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x \sin^{-1} 5x}$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x \sin^{-1} 5x)^{1/2}$ と書き換える。

次に、合成関数の微分と積の微分を用いる。

合成関数の微分は $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ であり、今回の場合は $u = x \sin^{-1} 5x$ とおく。

$y = u^{1/2}$ なので、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{x \sin^{-1} 5x}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。$u = x \sin^{-1} 5x$ なので、積の微分を用いる。

積の微分は $(fg)' = f'g + fg'$ である。

$f = x$ と $g = \sin^{-1} 5x$ とすると、

$f' = 1$

$g' = \frac{1}{\sqrt{1 - (5x)^2}} \cdot 5 = \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

よって、

$\frac{du}{dx} = 1 \cdot \sin^{-1} 5x + x \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}} = \sin^{-1} 5x + \frac{5x}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x \sin^{-1} 5x}} \cdot \left(\sin^{-1} 5x + \frac{5x}{\sqrt{1 - 25x^2}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^{-1} 5x + \frac{5x}{\sqrt{1 - 25x^2}}}{2\sqrt{x \sin^{-1} 5x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^{-1} 5x + \frac{5x}{\sqrt{1 - 25x^2}}}{2\sqrt{x \sin^{-1} 5x}}$

## (g)の問題

1. 問題の内容

関数 $y = \cos(x \tan^{-1} x)$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$u = x \tan^{-1} x$ とおく。

$y = \cos u$ なので、$\frac{dy}{du} = -\sin u = -\sin(x \tan^{-1} x)$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。$u = x \tan^{-1} x$ なので、積の微分を用いる。

積の微分は $(fg)' = f'g + fg'$ である。

$f = x$ と $g = \tan^{-1} x$ とすると、

$f' = 1$

$g' = \frac{1}{1 + x^2}$

よって、

$\frac{du}{dx} = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\sin(x \tan^{-1} x) \cdot \left(\tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}\right)$

$\frac{dy}{dx} = -\left(\tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}\right) \sin(x \tan^{-1} x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\left(\tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}\right) \sin(x \tan^{-1} x)$