行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の連立方程式を満たす行列 $X$ と $Y$ を求めます。 (1) $\begin{cases} X - 3Y = A \\ X + Y = B \end{cases}$ (2) $\begin{cases} AX + BY = 3E \\ AX - 2BY = 6E \end{cases}$ ここで $E$ は単位行列を表します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の連立方程式を満たす行列 $X$ と $Y$ を求めます。

(1)

$\begin{cases}

X - 3Y = A \\

X + Y = B

\end{cases}$

(2)

$\begin{cases}

AX + BY = 3E \\

AX - 2BY = 6E

\end{cases}$

ここで $E$ は単位行列を表します。

2. 解き方の手順

(1) の連立方程式について考えます。

まず、2つの式を足し合わせると、

$2X - 2Y = A + B$ となります。

2番目の式 $X + Y = B$ より $X = B - Y$ なので、最初の式に代入すると、

$(B-Y)-3Y = A$

$B - 4Y = A$

$4Y = B - A$

$Y = \frac{1}{4}(B - A)$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix}$ より、

$B - A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ -4 & 8 \end{bmatrix}$

したがって、

$Y = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 0 & -4 \\ -4 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

$X = B - Y = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$

(2) の連立方程式について考えます。

$AX + BY = 3E$

$AX - 2BY = 6E$

上の式から下の式を引くと、

$3BY = -3E$

$BY = -E$

$Y = -B^{-1}E = -B^{-1}$

$B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix}$ の逆行列を求めます。

$\det(B) = (1)(12) - (-2)(-1) = 12 - 2 = 10$

$B^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 12 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

$Y = -\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 12 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6/5 & -1/5 \\ -1/10 & -1/10 \end{bmatrix}$

次に、$AX = 3E - BY = 3E - B(-B^{-1}) = 3E + (-E) = 2E$.

$AX = 2E$

$X = 2A^{-1}$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ の逆行列を求めます。

$\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

$X = 2A^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) の答え:

$X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$, $Y = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

(2) の答え:

$X = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$, $Y = \begin{bmatrix} -6/5 & -1/5 \\ -1/10 & -1/10 \end{bmatrix}$