与えられた対数方程式または対数不等式を解く問題です。 (1) $\log_{10} 5x - \log_{10}(x-2) = 1$ (2) $\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) = 2$ (3) $\log_2 (2x-1) \le -2$ (4) $\log_3 (-2x+1) > 1$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式または対数不等式を解く問題です。

(1) $\log_{10} 5x - \log_{10}(x-2) = 1$

(2) $\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) = 2$

(3) $\log_2 (2x-1) \le -2$

(4) $\log_3 (-2x+1) > 1$

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10} 5x - \log_{10}(x-2) = 1$

真数条件より $5x > 0$ かつ $x-2 > 0$。よって $x > 2$

$\log_{10} \frac{5x}{x-2} = 1$

$\frac{5x}{x-2} = 10^1 = 10$

$5x = 10(x-2)$

$5x = 10x - 20$

$5x = 20$

$x = 4$

$x=4$ は $x>2$ を満たすので、解である。

(2)

$\log_2 (x+1) + \log_2 (x-2) = 2$

真数条件より $x+1 > 0$ かつ $x-2 > 0$。よって $x > 2$

$\log_2 ((x+1)(x-2)) = 2$

$(x+1)(x-2) = 2^2 = 4$

$x^2 -2x +x -2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

$x > 2$ より $x = 3$

(3)

$\log_2 (2x-1) \le -2$

真数条件より $2x-1 > 0$。よって $x > \frac{1}{2}$

$\log_2 (2x-1) \le \log_2 2^{-2}$

$2x-1 \le 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$2x \le \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

$x \le \frac{5}{8}$

$\frac{1}{2} < x \le \frac{5}{8}$

(4)

$\log_3 (-2x+1) > 1$

真数条件より $-2x+1 > 0$。よって $x < \frac{1}{2}$

$\log_3 (-2x+1) > \log_3 3^1$

$-2x+1 > 3$

$-2x > 2$

$x < -1$

$x < -1$ は $x < \frac{1}{2}$ を満たすので、解である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $x = 3$

(3) $\frac{1}{2} < x \le \frac{5}{8}$

(4) $x < -1$