与えられた3x3行列 $ \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} $ が正則でないような $x$ の値を求める。正則でないとは、行列式が0になることを意味します。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 $\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$ が正則でないような $x$ の値を求める。正則でないとは、行列式が0になることを意味します。

2. 解き方の手順

行列式を計算し、$x$ の方程式を立て、それを解きます。

行列式を計算します：

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\begin{vmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{vmatrix}

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行列式を計算するために、1行目で展開します。

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(2-x) \begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix}

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それぞれの2x2行列式を計算します：

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(3-x)(-6-x) - (-4)(5) = -18 - 3x + 6x + x^2 + 20 = x^2 + 3x + 2

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3(-6-x) - (-4)(3) = -18 - 3x + 12 = -6 - 3x

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3(5) - (3-x)(3) = 15 - 9 + 3x = 6 + 3x

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これらを元の式に代入します：

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(2-x)(x^2 + 3x + 2) - 4(-6 - 3x) - 4(6 + 3x)

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式を展開します：

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2x^2 + 6x + 4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 24 + 12x - 24 - 12x

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整理します：

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-x^3 - x^2 + 4x + 4

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行列式が0になるような $x$ の値を求めるので、次の方程式を解きます：

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-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0

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x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0

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$x^2(x+1) - 4(x+1) = 0$

$(x^2 - 4)(x+1) = 0$

$(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

3. 最終的な答え

したがって、$x$ の値は $x = 2, -2, -1$ です。