与えられた行列 $\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$ が正則でないような $x$ の値を求める問題です。行列が正則でないとは、その行列式が0になることを意味します。

1. 問題の内容

与えられた行列

$\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$

が正則でないような $x$ の値を求める問題です。行列が正則でないとは、その行列式が0になることを意味します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算します。

$\det \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} = (2-x)\begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$

それぞれの2x2行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} = (3-x)(-6-x) - (-4)(5) = -18 - 3x + 6x + x^2 + 20 = x^2 + 3x + 2$

$\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} = 3(-6-x) - (-4)(3) = -18 - 3x + 12 = -3x - 6$

$\begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 3(5) - (3-x)(3) = 15 - 9 + 3x = 6 + 3x$

これらを元の式に代入します。

$\det = (2-x)(x^2 + 3x + 2) - 4(-3x - 6) - 4(6 + 3x) = 2x^2 + 6x + 4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 12x + 24 - 24 - 12x = -x^3 - x^2 + 4x + 4$

行列が正則でないとき、行列式は0であるので、

$-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2(x+1) - 4(x+1) = 0$

$(x^2 - 4)(x+1) = 0$

$(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

したがって、$x = 2, -2, -1$

3. 最終的な答え

$x = -2, -1, 2$