与えられた3x3の行列 $\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$ が正則でないような$x$の値を求めよ。行列が正則でないとは、行列式が0になることである。

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列

$\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$

が正則でないような$x$の値を求めよ。行列が正則でないとは、行列式が0になることである。

2. 解き方の手順

与えられた行列の行列式を計算し、$x$について解く。

行列式を計算すると、

\begin{align*} \label{eq:1} \det \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} &= (2-x) \begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \\ &= (2-x)((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4(3(-6-x) - (-4)(3)) - 4(3(5) - (3-x)(3)) \\ &= (2-x)(-18-3x+6x+x^2+20) - 4(-18-3x+12) - 4(15 - (9-3x)) \\ &= (2-x)(x^2+3x+2) - 4(-6-3x) - 4(6+3x) \\ &= 2x^2+6x+4-x^3-3x^2-2x + 24+12x - 24-12x \\ &= -x^3 -x^2 + 4x + 4 \end{align*}

行列が正則でない条件は、行列式が0になることなので、

$-x^3 -x^2 + 4x + 4 = 0$ を解く。

$-(x^3 + x^2 - 4x - 4) = 0$

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2(x+1) - 4(x+1) = 0$

$(x^2 - 4)(x+1) = 0$

$(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

よって、$x=2, -2, -1$

3. 最終的な答え

$x = 2, -2, -1$