与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^3-3x^2+x+1$ (2) $x^3+5x^2-8x-12$ (3) $2x^3+3x^2-3x-2$ (4) $x^4+3x^3-2x^2-12x-8$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^3-3x^2+x+1$

(2) $x^3+5x^2-8x-12$

(3) $2x^3+3x^2-3x-2$

(4) $x^4+3x^3-2x^2-12x-8$

2. 解き方の手順

(1) $x^3-3x^2+x+1$

因数定理を利用します。$x=1$を代入すると$1-3+1+1 = 0$となり、与式は$(x-1)$を因数に持つことがわかります。

組み立て除法を使うと、

$(x^3-3x^2+x+1) \div (x-1) = x^2 - 2x - 1$

となります。

よって、$x^3-3x^2+x+1 = (x-1)(x^2-2x-1)$

$x^2-2x-1$は因数分解できないので、これが答えです。

(2) $x^3+5x^2-8x-12$

因数定理を利用します。$x=-1$を代入すると$-1+5+8-12 = 0$となり、与式は$(x+1)$を因数に持つことがわかります。

組み立て除法を使うと、

$(x^3+5x^2-8x-12) \div (x+1) = x^2 + 4x - 12$

となります。

よって、$x^3+5x^2-8x-12 = (x+1)(x^2+4x-12)$

さらに、$x^2+4x-12$を因数分解すると、$(x+6)(x-2)$となります。

したがって、$x^3+5x^2-8x-12 = (x+1)(x+6)(x-2)$

(3) $2x^3+3x^2-3x-2$

因数定理を利用します。$x=1$を代入すると$2+3-3-2 = 0$となり、与式は$(x-1)$を因数に持つことがわかります。

組み立て除法を使うと、

$(2x^3+3x^2-3x-2) \div (x-1) = 2x^2+5x+2$

となります。

よって、$2x^3+3x^2-3x-2 = (x-1)(2x^2+5x+2)$

さらに、$2x^2+5x+2$を因数分解すると、$(2x+1)(x+2)$となります。

したがって、$2x^3+3x^2-3x-2 = (x-1)(2x+1)(x+2)$

(4) $x^4+3x^3-2x^2-12x-8$

因数定理を利用します。$x=-1$を代入すると$1-3-2+12-8 = 0$となり、与式は$(x+1)$を因数に持つことがわかります。

組み立て除法を使うと、

$(x^4+3x^3-2x^2-12x-8) \div (x+1) = x^3+2x^2-4x-8$

となります。

よって、$x^4+3x^3-2x^2-12x-8 = (x+1)(x^3+2x^2-4x-8)$

$x^3+2x^2-4x-8$に$x=-2$を代入すると$-8+8+8-8=0$となるので、$(x+2)$を因数に持ちます。

$x^3+2x^2-4x-8 = (x+2)(x^2-4)=(x+2)(x-2)(x+2)=(x+2)^2(x-2)$

したがって、$x^4+3x^3-2x^2-12x-8 = (x+1)(x+2)^2(x-2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x^2-2x-1)$

(2) $(x+1)(x+6)(x-2)$

(3) $(x-1)(2x+1)(x+2)$

(4) $(x+1)(x+2)^2(x-2)$