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与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答えます。 (1) 拡大係数行列を求める。 (2) 拡大係数行列を簡約化する。 (3) 解の有無を判定し、存在する場合は解を求める。パラメータ表示が必要な場合は、$p, q, r, s$ を用いる。

代数学連立一次方程式線形代数拡大係数行列簡約化解の存在性
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答えます。
(1) 拡大係数行列を求める。
(2) 拡大係数行列を簡約化する。
(3) 解の有無を判定し、存在する場合は解を求める。パラメータ表示が必要な場合は、p,q,r,sp, q, r, s を用いる。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を求める。
与えられた連立一次方程式の係数と定数項を並べて拡大係数行列を作成します。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
3 & -6 & 1 & -2 & -8 \\
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2
\end{array}
\right]
(2) 拡大係数行列を簡約化する。
拡大係数行列を基本変形を用いて簡約化します。
まず、1行目と2行目を入れ替えます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
3 & -6 & 1 & -2 & -8 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2
\end{array}
\right]
次に、2行目から1行目の3倍を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 10 & 10 & 52 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2
\end{array}
\right]
次に、3行目を2で割ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 10 & 10 & 52 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right]
次に、2行目を10で割ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 5.2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right]
次に、3行目から2行目を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 5.2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -4.2
\end{array}
\right]
最後の行は0x1+0x2+0x3+0x4=−4.20x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = -4.2となり、これは矛盾しているので、解は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 拡大係数行列:
\left[
\begin{array}{cccc|c}
3 & -6 & 1 & -2 & -8 \\
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2
\end{array}
\right]
(2) 簡約化された拡大係数行列:
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -3 & -4 & -20 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 5.2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -4.2
\end{array}
\right]
(3) 解の有無: 解なし

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