## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

$0 \leq x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解きます。

(1) $\sin x - \cos 2x = 0$

(2) $\cos 2x + 3\cos x - 1 < 0$

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2. 解き方の手順

**(1) $\sin x - \cos 2x = 0$ の解き方**

$\cos 2x$ を $\sin x$ で表します。$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、

$2t^2 + t - 1 = 0$

$(2t - 1)(t + 1) = 0$

よって、$t = \frac{1}{2}$ または $t = -1$ となります。

$t = \sin x$ なので、

$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin x = -1$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2}$

**(2) $\cos 2x + 3\cos x - 1 < 0$ の解き方**

$\cos 2x$ を $\cos x$ で表します。$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ なので、

$2\cos^2 x - 1 + 3\cos x - 1 < 0$

$2\cos^2 x + 3\cos x - 2 < 0$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、

$2t^2 + 3t - 2 < 0$

$(2t - 1)(t + 2) < 0$

$-2 < t < \frac{1}{2}$

$t = \cos x$ なので、

$-2 < \cos x < \frac{1}{2}$

$\cos x > -2$ は常に成り立ちます。なぜなら、$\cos x$ の値域は $-1 \leq \cos x \leq 1$ だからです。

よって、$\cos x < \frac{1}{2}$ を解きます。

$x$ の範囲は $0 \leq x < 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

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3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$