次の連立不等式の表す領域を$D$とする。 $x^2 + y^2 \le 25$, $(y - 2x - 10)(y + x + 5) \le 0$ (1) 領域$D$を図示せよ。 (2) 点$(x, y)$がこの領域$D$を動くとき、$x + 2y$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ。また、$M$, $m$を与える$D$の点を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

次の連立不等式の表す領域を$D$とする。

$x^2 + y^2 \le 25$, $(y - 2x - 10)(y + x + 5) \le 0$

(1) 領域$D$を図示せよ。

(2) 点$(x, y)$がこの領域$D$を動くとき、$x + 2y$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ。また、$M$, $m$を与える$D$の点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域$D$の図示

不等式$x^2 + y^2 \le 25$は、原点を中心とする半径5の円の内部および円周を表す。

不等式$(y - 2x - 10)(y + x + 5) \le 0$は、以下の2つの場合に分けられる。

(i) $y - 2x - 10 \ge 0$ かつ $y + x + 5 \le 0$

(ii) $y - 2x - 10 \le 0$ かつ $y + x + 5 \ge 0$

(i)は、$y \ge 2x + 10$ かつ $y \le -x - 5$ を表す。

(ii)は、$y \le 2x + 10$ かつ $y \ge -x - 5$ を表す。

これらの不等式を図示すると、領域$D$は円$x^2 + y^2 \le 25$の内側で、$y = 2x + 10$と$y = -x - 5$で区切られた領域になる。$y = 2x + 10$と$y = -x - 5$の交点は、

$2x + 10 = -x - 5$

$3x = -15$

$x = -5$

$y = -(-5) - 5 = 0$

であるから、交点は$(-5, 0)$となる。

(2) $x + 2y$の最大値と最小値

$x + 2y = k$とおくと、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$となる。これは傾き$-\frac{1}{2}$、y切片$\frac{k}{2}$の直線を表す。この直線が領域$D$と共有点を持つときの$k$の最大値と最小値を求める。

最大値$M$を与えるのは、直線が円$x^2 + y^2 = 25$と接するときである。直線$x + 2y = k$と円の中心$(0, 0)$との距離が半径5に等しいとき、$k$は最大値または最小値を取る。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|0 + 2(0) - k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = 5$

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 5$

$|k| = 5\sqrt{5}$

$k = \pm 5\sqrt{5}$

このうち、最大値$M$を与えるのは、$k = 5\sqrt{5}$の場合である。このとき、接点を$(x_0, y_0)$とすると、$x_0 + 2y_0 = 5\sqrt{5}$である。また、直線$x + 2y = 5\sqrt{5}$と円の中心$(0, 0)$を結ぶ直線は、元の直線と直交する。したがって、$(x_0, y_0)$は原点と接点を結ぶ直線上にあり、$y = 2x$の関係が成り立つ。$x^2 + y^2 = x^2 + (2x)^2 = 5x^2 = 25$より、$x^2 = 5$、$x = \pm\sqrt{5}$である。$x + 2y = x + 4x = 5x = 5\sqrt{5}$であるから、$x = \sqrt{5}$、$y = 2\sqrt{5}$となる。よって、$(\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$で最大値$M = 5\sqrt{5}$を取る。

最小値$m$を与えるのは、$y = -x - 5$と円$x^2 + y^2 = 25$の交点の場合である。

$x^2 + (-x - 5)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 10x + 25 = 25$

$2x^2 + 10x = 0$

$2x(x + 5) = 0$

$x = 0$ または $x = -5$

$x = 0$のとき、$y = -5$

$x = -5$のとき、$y = 0$

$(0, -5)$と$(-5, 0)$における$x + 2y$の値を比較すると、

$0 + 2(-5) = -10$

$-5 + 2(0) = -5$

したがって、最小値$m = -10$を与えるのは、$(0, -5)$である。

3. 最終的な答え

(1) 領域Dの図示：省略（上記参照）

(2) 最大値：$M = 5\sqrt{5}$、そのときの点：$(\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$

最小値：$m = -10$、そのときの点：$(0, -5)$