## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は3つの命題について、それぞれの命題が条件として何であるか（必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもない）を答えるものです。

(1) $|a+b| = |a|+|b|$ であることは、$ab \geq 0$ であるための何条件か。

(2) $a^2 + b^2 = 0$ であることは、$a=0$ であるための何条件か。

(3) $x+y = 0$ であることは、$x=0$または$y=0$であるための何条件か。

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2. 解き方の手順

(1) $|a+b| = |a|+|b|$ であることは、$ab \geq 0$ であるための何条件か。

* $|a+b| = |a|+|b|$ が成り立つとき、$ab \geq 0$ であることを示す。

$|a+b|^2 = (|a|+|b|)^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2$

$2ab = 2|a||b|$

$ab = |ab|$

これが成り立つのは、$ab \geq 0$ のときである。

したがって、$|a+b| = |a|+|b| \Rightarrow ab \geq 0$ は真である。つまり、$|a+b| = |a|+|b|$ は $ab \geq 0$ であるための十分条件である。

* $ab \geq 0$ のとき、$|a+b| = |a|+|b|$ が成り立つことを示す。

$ab \geq 0$ ならば、$a$と$b$は同符号またはどちらかが0である。

このとき、$|a+b| = |a|+|b|$ が成り立つ。

したがって、$ab \geq 0 \Rightarrow |a+b| = |a|+|b|$ は真である。つまり、$ab \geq 0$ は $|a+b| = |a|+|b|$ であるための十分条件である。

したがって、$ab \geq 0$ は $|a+b| = |a|+|b|$ であるための必要十分条件である。

(2) $a^2 + b^2 = 0$ であることは、$a=0$ であるための何条件か。

* $a^2 + b^2 = 0$ が成り立つとき、$a=0$ であることを示す。

$a^2 + b^2 = 0$ ならば、$a^2 = 0$ かつ $b^2 = 0$ でなければならない。なぜなら、$a^2 \geq 0$ かつ $b^2 \geq 0$ であるから。

したがって、$a=0$ かつ $b=0$ である。

よって、$a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a=0$ は真である。

したがって、$a^2 + b^2 = 0$ は $a=0$ であるための必要条件である。

ただし、$b=0$でなければならないので十分条件ではない。

* $a=0$ のとき、$a^2 + b^2 = 0$ が成り立つことを示す。

$a=0$ でも、$b$が0でなければ$a^2 + b^2 = 0$は成立しない。

$a=0 \Rightarrow a^2 + b^2 = 0$ は偽である。

したがって、$a=0$ は $a^2 + b^2 = 0$ であるための十分条件ではない。

$a^2+b^2=0$ は $a=0$ かつ $b=0$ であるための必要条件である。

(3) $x+y = 0$ であることは、$x=0$ または $y=0$ であるための何条件か。

* $x+y = 0$ が成り立つとき、$x=0$ または $y=0$ であることを示す。

$x+y = 0$ ならば、$x=-y$ である。

$x=0$ のとき、$y=0$ である。

$x \neq 0$ のとき、$y = -x \neq 0$ である。

したがって、$x=0$ または $y=0$ とは限らない。たとえば$x=1, y=-1$のとき、$x+y=0$であるが、$x=0$でも$y=0$でもない。

したがって、$x+y = 0 \Rightarrow x=0$ または $y=0$ は偽である。

したがって、$x+y = 0$ は $x=0$ または $y=0$ であるための十分条件ではない。

* $x=0$ または $y=0$ のとき、$x+y = 0$ が成り立つことを示す。

$x=0$ のとき、$x+y = y$ であり、$x+y=0$ となるのは $y=0$ のときである。

$y=0$ のとき、$x+y = x$ であり、$x+y=0$ となるのは $x=0$ のときである。

$x=0$ または $y=0$ \Rightarrow x+y = 0 は偽である. なぜなら、$x=0$ でも $y=0$ でもなくても、$x+y = 0$ となる場合があるから。（例えば、$x=1, y=-1$)

したがって、$x=0$ または $y=0$ は $x+y = 0$ であるための必要条件ではない。

したがって、$x+y = 0$ は $x=0$ または $y=0$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

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3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件

(2) 必要条件

(3) 必要条件でも十分条件でもない