次の2つの式を因数分解します。 (2) $a^3 - 8$ (3) $a^2 + 64b^3$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解します。

(2) $a^3 - 8$

(3) $a^2 + 64b^3$

2. 解き方の手順

(2) $a^3 - 8$ について

$a^3 - 8$ は、$a^3 - 2^3$ と書き換えられます。これは3乗の差の公式 $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ を利用できます。

$x = a$, $y = 2$ を代入すると、

$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

となります。

(3) $a^2 + 64b^3$ について

$a^2 + 64b^3$ は、$a^2 + (4b)^{3/2}$ と書き換えられます。しかし、これは簡単な因数分解の形にはなりません。問題文が間違っている可能性があります。$a^3 + 64b^3$であれば、3乗の和の公式を利用できます。

もし問題が $a^3 + 64b^3$ であれば、$a^3 + (4b)^3$ となり、3乗の和の公式 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ を利用できます。

$x = a$, $y = 4b$ を代入すると、

$a^3 + (4b)^3 = (a + 4b)(a^2 - 4ab + (4b)^2) = (a + 4b)(a^2 - 4ab + 16b^2)$

となります。

問題が $a^3 + 64b^3$ であるとして、解答します。

3. 最終的な答え

(2) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

(3) $(a + 4b)(a^2 - 4ab + 16b^2)$

注：(3)の問題文が $a^2 + 64b^3$ であれば、因数分解できません。もし問題文に誤りがある場合は、$a^3 + 64b^3$ であると仮定して解答しています。