(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。 (2) この関数が定義域内で最大値および最小値をとる $x$ の値と、その時の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。

(2) この関数が定義域内で最大値および最小値をとる $x$ の値と、その時の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10$

$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

頂点の座標は $(6, 1)$ であり、軸は直線 $x = 6$ である。

(2) $y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$ のグラフは下に凸の放物線である。定義域は $2 \le x \le 8$ なので、軸 $x = 6$ が定義域に含まれている。

$x = 6$ のとき最小値 $1$ をとる。

$x = 2$ のとき $y = \frac{1}{4}(2 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 8$ のとき $y = \frac{1}{4}(8 - 6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、定義域の端点のうち、$x=2$ のとき最大値 $5$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: (6, 1), 軸の方程式: x = 6

(2) $x = 2$ で最大値 5

$x = 6$ で最小値 1