行列 $A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の関係式が成り立つような実数 $a, b$ の値を求める問題。 (1) $A^2 = A$ (2) $B^2 = -B$ (3) $AB = BA$ (4) $AB = -BA$ (5) $(A+B)^2 = O$ (零行列) (6) $(A-B)^2 = E_2$ (単位行列)

1. 問題の内容

行列 $A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の関係式が成り立つような実数 $a, b$ の値を求める問題。

(1) $A^2 = A$

(2) $B^2 = -B$

(3) $AB = BA$

(4) $AB = -BA$

(5) $(A+B)^2 = O$ (零行列)

(6) $(A-B)^2 = E_2$ (単位行列)

2. 解き方の手順

(1) $A^2 = A$

$A^2 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1+a(2-a) & 2a \\ 4-2a & 1+a(2-a) \end{pmatrix}$

$A^2 = A$ より

$\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1+a(2-a) & 2a \\ 4-2a & 1+a(2-a) \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$

したがって、

$1+a(2-a) = 2$ より $1+2a-a^2=2$ つまり $a^2-2a+1=0$ よって $(a-1)^2=0$ で $a=1$.

$2a = 2a$, $4-2a = 4-2a$ なので $a=1$ が条件を満たす。

(2) $B^2 = -B$

$B^2 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1+b(-1+2b) & 1-2b+1-2b \\ -b-b & b(-1+2b)+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1-b+2b^2 & 2-4b \\ -2b & 1-b+2b^2 \end{pmatrix}$

$-B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1-2b \\ -b & 1 \end{pmatrix}$

$B^2 = -B$ より

$\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1-b+2b^2 & 2-4b \\ -2b & 1-b+2b^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1-2b \\ -b & 1 \end{pmatrix}$

$1-b+2b^2=2$ より $2b^2-b-1=0$, $(2b+1)(b-1)=0$ よって $b=1, -1/2$.

$2-4b = 2-4b$ および $-2b = -2b$ より、$b=1, -1/2$ が条件を満たす。

(3) $AB = BA$

$A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{pmatrix}$ に $a=1$ を代入すると $A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix}$

$AB = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1+b & -2+2b \\ -1+b & -2+2b \end{pmatrix}$

$BA = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & -1+2b \\ b & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2+2b & -2+2b \\ b-1 & b-1 \end{pmatrix}$

$AB = BA$ より $-1+b = -2+2b$ つまり $b=1$ および $-2+2b=b-1$ つまり $b=1$

したがって $a=1, b=1$

(4) $AB = -BA$

$AB = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1+b & -2+2b \\ -1+b & -2+2b \end{pmatrix}$

$-BA = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2-2b & 2-2b \\ 1-b & 1-b \end{pmatrix}$

$AB=-BA$ より $-1+b=2-2b$ つまり $3b=3$ で $b=1$

$-2+2b=2-2b$ つまり $4b=4$ で $b=1$

$-1+b=1-b$ より $2b=2$ で $b=1$

したがって $b=1$. $a=1$

(5) $(A+B)^2 = O$

$A+B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & a-1+2b \\ 2-a+b & 0 \end{pmatrix}$

$(A+B)^2 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & a-1+2b \\ 2-a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a-1+2b \\ 2-a+b & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} (a-1+2b)(2-a+b) & 0 \\ 0 & (2-a+b)(a-1+2b) \end{pmatrix}$

$(A+B)^2 = O$ より $(a-1+2b)(2-a+b) = 0$

$a=1$ なので $(2b)(1+b) = 0$ つまり $b=0$ または $b=-1$

よって、$a=1$, $b=0$ または $b=-1$

(6) $(A-B)^2 = E_2$

$A-B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & a+1-2b \\ 2-a-b & 2 \end{pmatrix}$

$(A-B)^2 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & a+1-2b \\ 2-a-b & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & a+1-2b \\ 2-a-b & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4+(a+1-2b)(2-a-b) & 4(a+1-2b) \\ 4(2-a-b) & 4+(2-a-b)(a+1-2b) \end{pmatrix}$

$(A-B)^2 = E_2$ より

$4+(a+1-2b)(2-a-b) = 4$ つまり $(a+1-2b)(2-a-b) = 0$

$a+1-2b = 0$ または $2-a-b = 0$

$a=1$ を代入すると

$2-2b=0$ より $b=1$

$2-1-b=0$ より $b=1$

$4(a+1-2b)=0$ より $a+1-2b=0$ で $a=1$ より $b=1$.

$4(2-a-b)=0$ より $2-a-b=0$ で $a=1$ より $b=1$.

よって $a=1$, $b=1$

3. 最終的な答え

(1) $a=1$

(2) $b=1, -1/2$

(3) $a=1, b=1$

(4) $a=1, b=1$

(5) $a=1$, $b=0$ または $b=-1$

(6) $a=1, b=1$