7人乗りのタクシーと5人乗りのタクシーを合わせて8台使い、47人の客を運びたい。7人乗りのタクシーの料金は800円、5人乗りのタクシーの料金は720円である。全体の料金が6100円を超えないようにするには、7人乗りと5人乗りのタクシーをそれぞれ何台使えばよいか。

1. 問題の内容

7人乗りのタクシーと5人乗りのタクシーを合わせて8台使い、47人の客を運びたい。7人乗りのタクシーの料金は800円、5人乗りのタクシーの料金は720円である。全体の料金が6100円を超えないようにするには、7人乗りと5人乗りのタクシーをそれぞれ何台使えばよいか。

2. 解き方の手順

7人乗りのタクシーの台数を $x$ とすると、5人乗りのタクシーの台数は $8-x$ と表せる。

乗車人数の条件より、

$7x + 5(8-x) = 47$

これを解くと、

$7x + 40 - 5x = 47$

$2x = 7$

$x = 3.5$

しかし、タクシーの台数は整数なので、$x$は整数でなければならない。

よって、料金の条件から考える。

7人乗りのタクシーの台数を $x$ とすると、5人乗りのタクシーの台数は $8-x$ と表せる。

料金の条件より、

$800x + 720(8-x) \le 6100$

これを解くと、

$800x + 5760 - 720x \le 6100$

$80x \le 340$

$x \le \frac{340}{80}$

$x \le 4.25$

また、乗車人数の条件より、7人乗りのタクシーに乗る人数と5人乗りのタクシーに乗る人数の合計は47人なので、$7x + 5(8-x) = 47$ を満たす必要がある。

$7x + 40 - 5x = 47$

$2x = 7$

$x = 3.5$

$x$ は整数でなければならないので、$x=3$または$x=4$の場合を考える。

- $x = 3$ のとき

7人乗りのタクシーが3台、5人乗りのタクシーが5台となる。

乗車人数: $7 \times 3 + 5 \times 5 = 21 + 25 = 46$ 人

料金: $800 \times 3 + 720 \times 5 = 2400 + 3600 = 6000$ 円

乗車人数が47人に満たないので不適。

- $x = 4$ のとき

7人乗りのタクシーが4台、5人乗りのタクシーが4台となる。

乗車人数: $7 \times 4 + 5 \times 4 = 28 + 20 = 48$ 人

料金: $800 \times 4 + 720 \times 4 = 3200 + 2880 = 6080$ 円

料金は6100円以下だが、乗車人数が47人より多いので、7人乗りのタクシーの台数を減らす必要がある。

7人乗りのタクシーを $x$ 台、5人乗りのタクシーを $8-x$ 台使うとき、

$7x + 5(8-x) = 47$

$2x = 7$

$x = 3.5$

ここで、$x$は整数でなければならないことを考慮する。

7人乗りを4台、5人乗りを4台とすると、48人乗れる。１人減らすには、7人乗りを1台減らして5人乗りを1台増やす、つまり7人乗り3台、5人乗り5台にすると46人になってしまうので、7人乗りのタクシーを減らすのではなく、7人乗りのタクシーの人数を減らすことを考える。

例えば、7人乗りのタクシーに6人乗せ、5人乗りのタクシーに5人乗せる、というように調整しても、合計人数が47人になるように調整することはできない。

したがって、連立方程式

$x + y = 8$

$7x + 5y = 47$

$800x + 720y \le 6100$

を解き、整数解を求める。

上記の連立方程式を解くと、$x=3.5, y=4.5$ となる。

$x$を小さくすると、乗車人数が減り、料金が下がる。

$x$を大きくすると、乗車人数が増え、料金が上がる。

したがって、乗車人数を減らさないためには、$x=4$の場合を考え、そこから調整する必要がある。

$x=4$のとき、$y=4$であり、乗車人数は48人、料金は6080円。

$x=3$のとき、$y=5$であり、乗車人数は46人、料金は6000円。

乗車人数は47人である必要があるため、条件を満たす整数解は存在しない。

7人乗りx台, 5人乗りy台とすると

x+y=8

7x+5y=47

より、x=3.5, y=4.5

x=4, y=4のとき、料金は3200+2880=6080円。

x=3, y=5のとき、料金は2400+3600=6000円。

7人乗りを3台、5人乗りを5台使うと、運べる人数は46人である。

7人乗りを4台、5人乗りを4台使うと、運べる人数は48人である。

したがって、47人を運ぶことはできない。

3. 最終的な答え

条件を満たすような7人乗りと5人乗りのタクシーの台数は存在しない。