与えられた行列 $A$ が正則でないような $x$ の値を求めよ。ここで、行列 $A$ は以下の通りです。 $ A = \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が正則でないような $x$ の値を求めよ。ここで、行列 $A$ は以下の通りです。

$$

A = \begin{pmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列 $A$ が正則でないとは、行列式 $\det(A)$ が0になることを意味します。したがって、$\det(A) = 0$ を満たす $x$ を求めます。

行列式を計算します：

$\det(A) = (2-x)((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4(3(-6-x) - (-4)(3)) + (-4)(3(5) - (3-x)(3))$

$= (2-x)((-18 - 3x + 6x + x^2) + 20) - 4(-18 - 3x + 12) - 4(15 - (9 - 3x))$

$= (2-x)(x^2 + 3x + 2) - 4(-6 - 3x) - 4(6 + 3x)$

$= (2-x)(x+1)(x+2) - 4(-6 - 3x) - 4(6 + 3x)$

$= (2-x)(x^2 + 3x + 2) + 24 + 12x - 24 - 12x$

$= 2x^2 + 6x + 4 - x^3 - 3x^2 - 2x$

$= -x^3 - x^2 + 4x + 4$

$\det(A) = 0$ を解くには、$-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$ を解きます。

両辺に $-1$ をかけて、

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

因数分解を試みます。$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 4 = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$ なので、$x+1$ は因数です。

組立除法または筆算により、$x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x+1)(x^2 - 4) = (x+1)(x-2)(x+2)$

したがって、$(x+1)(x-2)(x+2) = 0$

$x = -1, x = 2, x = -2$

3. 最終的な答え

$x = -2, -1, 2$