問題1は、与えられた連立一次方程式を解く問題です。具体的には、以下の式を満たす $x_1, x_2, x_3$ を求めます。 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -3 & -5 & 7 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}$ 問題2は、与えられた行列 $A$ の逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその逆行列を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

問題1は、与えられた連立一次方程式を解く問題です。具体的には、以下の式を満たす $x_1, x_2, x_3$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -3 & -5 & 7 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}$

問題2は、与えられた行列 $A$ の逆行列が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその逆行列を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

問題1: 連立一次方程式を解く

連立一次方程式を行列で表すと、 $Ax = b$ となります。ここで、

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ -3 & -5 & 7 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} -5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}$ です。

掃き出し法を用いて解きます。拡大行列 $[A|b]$ を作ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -5 \\ -3 & -5 & 7 & | & 11 \\ 2 & 2 & -2 & | & -2 \end{bmatrix}$

2行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -5 \\ 0 & 1 & -2 & | & -4 \\ 2 & 2 & -2 & | & -2 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -5 \\ 0 & 1 & -2 & | & -4 \\ 0 & -2 & 4 & | & 8 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -5 \\ 0 & 1 & -2 & | & -4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -2 & | & -4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$

この結果から、$x_1 + x_3 = 3$ と $x_2 - 2x_3 = -4$ が得られます。

$x_3 = t$ とおくと、$x_1 = 3 - t$ と $x_2 = 2t - 4$ となります。

問題2: 逆行列の存在を調べる

行列 $A$ の逆行列が存在するかどうかは、行列式 $|A|$ を計算することでわかります。 $|A| \ne 0$ ならば逆行列が存在し、 $|A| = 0$ ならば逆行列は存在しません。

$|A| = 3(2 \cdot 3 - 1 \cdot (-2)) - 2(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + (-1)(1 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) = 3(6 + 2) - 2(3 - 1) - (-2 - 2) = 3(8) - 2(2) + 4 = 24 - 4 + 4 = 24$

$|A| = 24 \ne 0$ なので、逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

逆行列を求めるために、余因子行列を計算します。

$C_{11} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-2) = 8$

$C_{12} = -(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = -2$

$C_{13} = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 2 = -4$

$C_{21} = -(2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)) = -(6 - 2) = -4$

$C_{22} = 3 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 = 9 + 1 = 10$

$C_{23} = -(3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1) = -(-6 - 2) = 8$

$C_{31} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$

$C_{32} = -(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = -(3 + 1) = -4$

$C_{33} = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$

余因子行列 $C$ は

$C = \begin{bmatrix} 8 & -2 & -4 \\ -4 & 10 & 8 \\ 4 & -4 & 4 \end{bmatrix}$

転置余因子行列（随伴行列） $C^T$ は

$C^T = \begin{bmatrix} 8 & -4 & 4 \\ -2 & 10 & -4 \\ -4 & 8 & 4 \end{bmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ は

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} 8 & -4 & 4 \\ -2 & 10 & -4 \\ -4 & 8 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & -1/6 & 1/6 \\ -1/12 & 5/12 & -1/6 \\ -1/6 & 1/3 & 1/6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1の答え：

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-t \\ 2t-4 \\ t \end{bmatrix}$, ($t$ は任意の実数)

問題2の答え：

逆行列が存在し、

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & -1/6 & 1/6 \\ -1/12 & 5/12 & -1/6 \\ -1/6 & 1/3 & 1/6 \end{bmatrix}$