複素数単位 $i$ の50乗 $i^{50}$ の値を求めよという問題です。

1. 問題の内容

複素数単位 $i$ の50乗 $i^{50}$ の値を求めよという問題です。

2. 解き方の手順

複素数単位 $i$ の累乗は周期性があります。すなわち、

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

$i^5 = i$

というように、4乗ごとに同じ値が繰り返されます。

一般に、$n$を整数として

$i^{4n} = 1$

$i^{4n+1} = i$

$i^{4n+2} = -1$

$i^{4n+3} = -i$

となります。

したがって、$i^{50}$ を計算するためには、50を4で割った余りを求めます。

$50 = 4 \times 12 + 2$

なので、$i^{50} = i^{4 \times 12 + 2} = i^{4 \times 12} \times i^2 = (i^4)^{12} \times i^2 = 1^{12} \times i^2 = 1 \times i^2 = i^2 = -1$

3. 最終的な答え

$i^{50} = -1$