与えられた式 $\log_2 \sqrt[3]{18} - \frac{2}{3} \log_2 3$ を計算し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $\log_2 \sqrt[3]{18} - \frac{2}{3} \log_2 3$ を計算し、簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{18}$ を $18^{\frac{1}{3}}$と書き換えます。すると、与えられた式は

$\log_2 18^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3} \log_2 3$

となります。

次に、対数の性質 $\log_a x^n = n \log_a x$ を用いると、

$\frac{1}{3} \log_2 18 - \frac{2}{3} \log_2 3$

となります。$\frac{1}{3}$ でくくり出すと、

$\frac{1}{3}(\log_2 18 - 2 \log_2 3)$

となります。再度対数の性質 $n \log_a x = \log_a x^n$ を用いると、

$\frac{1}{3}(\log_2 18 - \log_2 3^2)$

$\frac{1}{3}(\log_2 18 - \log_2 9)$

となります。対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$\frac{1}{3} \log_2 \frac{18}{9}$

$\frac{1}{3} \log_2 2$

$\log_2 2 = 1$ であるから、

$\frac{1}{3} \cdot 1$

$=\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$