与えられた和を計算する問題です。 $ \sum_{n=1}^{90} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $

1. 問題の内容

与えられた和を計算する問題です。

$\sum_{n=1}^{90} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$ に $\frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(n+2) - n} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{n=1}^{90} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{90} \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{90} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

この和は、望遠鏡和（telescoping sum）の形をしています。つまり、部分的に打ち消しあう項があるため、和を計算することができます。具体的に書き下してみると、

$\frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{91} - \sqrt{89}) + (\sqrt{92} - \sqrt{90})]$

多くの項が打ち消し合い、残るのは

$\frac{1}{2} (-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{91} + \sqrt{92}) = \frac{1}{2} (-1 - \sqrt{2} + \sqrt{91} + \sqrt{92})$

$= \frac{1}{2} (-1 - \sqrt{2} + \sqrt{91} + 2\sqrt{23})$

元の式に代入して書き下してみると、

$\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{90} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = \frac{1}{2} \left( (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{91} - \sqrt{89}) + (\sqrt{92} - \sqrt{90}) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \sqrt{91} + \sqrt{92} - \sqrt{1} - \sqrt{2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \sqrt{91} + 2\sqrt{23} - 1 - \sqrt{2} \right)$

$= \frac{\sqrt{91} + 2\sqrt{23} - 1 - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{91} + 2\sqrt{23} - 1 - \sqrt{2}}{2}$