$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の2つの三角方程式を解く問題です。 (1) $2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$ (2) $2\sin^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の2つの三角方程式を解く問題です。

(1) $2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

(2) $2\sin^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

これは $\sin\theta$ に関する二次方程式なので、因数分解します。

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) = 0$

よって、

$2\sin\theta - 1 = 0$ または $\sin\theta + 1 = 0$

i) $2\sin\theta - 1 = 0$ の場合、$\sin\theta = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

ii) $\sin\theta + 1 = 0$ の場合、$\sin\theta = -1$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

(2) $2\sin^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて $\cos\theta$ だけの式に変形します。

$2(1 - \cos^2\theta) + 9\cos\theta + 3 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta + 9\cos\theta + 3 = 0$

$-2\cos^2\theta + 9\cos\theta + 5 = 0$

$2\cos^2\theta - 9\cos\theta - 5 = 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 5) = 0$

よって、

$2\cos\theta + 1 = 0$ または $\cos\theta - 5 = 0$

i) $2\cos\theta + 1 = 0$ の場合、$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

ii) $\cos\theta - 5 = 0$ の場合、$\cos\theta = 5$

$-1 \le \cos\theta \le 1$ であるため、$\cos\theta = 5$ となる $\theta$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$