与えられた行列 $\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$ が正則でないような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列

$\begin{pmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{pmatrix}$

が正則でないような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

行列が正則でないとは、行列式が0になることである。

したがって、与えられた行列の行列式を計算し、それが0になるような $x$ の値を求めればよい。

行列式を計算する。

\begin{align*}

\begin{vmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{vmatrix}

&= (2-x) \begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \\

&= (2-x)((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4(3(-6-x) - (-4)(3)) - 4(3(5) - (3-x)(3)) \\

&= (2-x)((-18 - 3x + 6x + x^2) + 20) - 4(-18 - 3x + 12) - 4(15 - (9 - 3x)) \\

&= (2-x)(x^2 + 3x + 2) - 4(-6 - 3x) - 4(6 + 3x) \\

&= (2-x)(x+1)(x+2) + 24 + 12x - 24 - 12x \\

&= (2-x)(x+1)(x+2) \\

&= (2-x)(x^2 + 3x + 2) \\

&= -x^3 - x^2 + 4x + 4

\end{align*}

したがって、$-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$ となる $x$ を求める。

$-x^3 - x^2 + 4x + 4 = -(x^3 + x^2 - 4x - 4) = -(x^2(x+1) - 4(x+1)) = -(x^2-4)(x+1) = -(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

したがって、$x = 2, -2, -1$

3. 最終的な答え

$x = 2, -2, -1$