放物線 $C: y = x^2 - ax - 2a - 3$ の頂点の軌跡を求めます。ただし、$a$ は任意の実数値をとりえます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - ax - 2a - 3$ の頂点の軌跡を求めます。ただし、$a$ は任意の実数値をとりえます。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - ax - 2a - 3$ を平方完成し、頂点の座標を $a$ を用いて表します。

$y = x^2 - ax - 2a - 3$

$y = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 - 2a - 3$

$y = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - 2a - 3$

よって、頂点の座標は $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} - 2a - 3)$ となります。

次に、頂点の $x$ 座標と $y$ 座標をそれぞれ $x$、$y$ とおきます。

$x = \frac{a}{2}$

$y = -\frac{a^2}{4} - 2a - 3$

$a$ を消去するために、$x$ の式から $a$ を求めます。

$a = 2x$

これを $y$ の式に代入します。

$y = -\frac{(2x)^2}{4} - 2(2x) - 3$

$y = -\frac{4x^2}{4} - 4x - 3$

$y = -x^2 - 4x - 3$

$y = -(x^2 + 4x) - 3$

$y = -(x^2 + 4x + 4) + 4 - 3$

$y = -(x + 2)^2 + 1$

これは放物線を表す式であり、頂点が $(-2, 1)$ となる上に凸の放物線です。

3. 最終的な答え

頂点の軌跡は $y = -x^2 - 4x - 3$

あるいは、$y = -(x+2)^2 + 1$